普通的轨道力学4——引力弹弓基础 观点

前言不写了，这篇只是给引力弹弓进行最大程度的计算简化。

本篇文章将会转成视频的形式发布。

如果要看前言部分，请去这篇文章中寻找。

(资料图片仅供参考)

引力弹弓中，最重要的主要是两个因素：时间与速度位置矢量。时间可以直接使用开普勒方程解决，但速度位置矢量需要不断地切换坐标系来进行。

为了方便运算，这里的所有参考系的坐标轴方向一致，且不旋转。

这张图中，可以看出，在始末引力势能相同时，离心率矢量与速度矢量改变的方向相反。也就是说，图中有以下关系：①

首先，需要得到离心率矢量的表达式。

由于过于复杂，这里不予展出，详细请见这里：https://sat.huijiwiki.com/wiki/%E7%A6%BB%E5%BF%83%E7%8E%87#%E7%A6%BB%E5%BF%83%E7%8E%87%E7%9F%A2%E9%87%8F

最终，可以得到离心率矢量的表达式：

显然，对于①中的k，有这个关系：

因此，只需要求出即可。

对于图中的几何关系，我们有：

以及：

可以得到：

由于等一会需要θ的余弦值，以使用余弦定理，因此让两边同时取余弦，可以得到：

因为，所以：

②

把图放大，对这个矢量三角形使用余弦定理：

对于轨道上的任意点，真近点角φ满足以下关系：③

将③代入：

④

把④代入①中，便可得到：

这个式子很丑陋，而根号里的这个平方项实际上就是真近点角的余弦值cosφ。这也就是说，我们可以通过确定轨道的初始的速度位置矢量即可得到末速度矢量。

对于，则更加简单。

通过观察，很容易得到：

而根据两矢量同向，很容易得到m为两矢量模长比，进而得到：

同样地，可以得到和一样的结论。对于时间，只是简单地套一下开普勒方程，只是注意，这里的平近点角M的表达式：。剩下的部分不再叙述。

这样，对于一次引力弹弓，需要的数据全部齐全。需要控制的量只有6个：初始的速度位置矢量，而其它的量均可由这6个量间接得到。首要得到的数据是角动量和近拱点——后者是引力弹弓中主要的限制因素，尤其是在数据较极限时，要求很严格。

下期是一次练习，来检验一下水平。

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